Newsletter n° 8

 








06/12/2023



Pouquoi raidir un arc ?


J’ai déjà évoqué plusieurs fois la technique de l’arc et des voûtes en pierre dans ce site : dans la fiche technique « traversée de l’espace avec la pierre » et dans les fiches techniques consacrées aux différents types de voûtes, à l’arc boutant, à la coupole ainsi que dans la newsletter n°4.

L’arc et les voûtes en pierre ne répondent aujourd’hui plus qu’à des usages très marginaux, souvent empreints de nostalgie.

Mais, aujourd’hui, ce thème revient à la une de l’actualité avec les travaux pharaoniques en cours pour la restauration de Notre Dame de Paris dont notamment la mise en sécurité de l’édifice et la reconstruction des voûtes effondrées.

 

L’ambition de cette newsletter est de vous expliquer la magie des arcs : pourquoi un arc est-il en équilibre et pourquoi et comment s’effondre-t-il. Ceci plus en détail que je l’ai déjà fait dans ce site, tout en conservant un grand niveau de vulgarisation pour que mes explications restent accessibles à tous.



L’arc en pierre, merveille architecturale

durant des millénaires


Pourquoi ? Parce que l’arc en pierre est, dans la construction, l’invention technique la plus extraordinaire et la plus audacieuse depuis les Grecs, et même peut être bien avant, qui a permis aux architectes de traverser l’espace. Elle a été sans cesse perfectionnée pour couvrir des espaces toujours plus grands, toujours plus hauts, toujours plus majestueux.


Rappelons que la pierre offre une très grande résistance à la compression, ce qui est idéal pour faire un mur, mais très peu de résistance à la traction pour constituer une poutre qui traverse l’espace, comme l’illustre cette gravure d’une ancienne synagogue en Galilée.



Pèlerins devant l’ancienne synagogue de Meron (photo de 1880).

L'architrave de la porte principale est brisée et repose en équilibre précaire, menaçant de s'effondrer.


Il existe une tradition comme quoi l'effondrement de cette pierre coïncidera avec la venue du Messie. Toutefois, dans les années 1960, le Département des Antiquités a renforcé la porte avec du béton, réduisant ainsi les chances de venue du Messie. (source www.wikipedia.org)



La maîtrise de la technique de l’arc et de la voûte en pierres ont permis de réaliser, dès le VIème siècle après J.C., la magnifique basilique chrétienne Sainte Sophie à Istambul.


La basilique Sainte Sophie, aquarelle, 1893 (source www.wikipedia.org)


Il aura fallu attendre la deuxième moitié du XIXème siècle pour que disparaisse peu à peu l’usage des arcs et des voûtes en pierre pour couvrir les bâtiments et traverser l’espace dans les ouvrages d’art.

Ce fut d’abord avec l’apparition de l'acier et des poutres métalliques en treillis, comme à la tour Eiffel, puis au début du XXème siècle avec l’invention du béton précontraint par l’ingénieur français Eugène Freyssinet. Ces nouveaux matériaux résistent à la fois à la compression et à la tension.


    

Pont de Chaotianmen en Chine

(source www.wikipedia.org)

Pont de Arrabida au Portugal

(source www. allaboutportugal.pt)


L’invention de l’arc en pierre, qui permet de traverser l’espace avec de petites pierres toutes en compression, n’était absolument pas évidente, d’autant plus que la nature ne nous offre aucun exemple de ce dispositif.


Les inventeurs de cette technique, qui semble aujourd’hui banale, ont fait preuve d’une grande capacité de conceptualisation, d’invention et d’expérimentation grâce à leur intelligence naturelle avec pour seuls outils leur cerveau et du sable pour tracer des plans à même le sol.



Pourquoi et comment

un arc reste-t-il en équilibre ?


Un arc reste en équilibre stable lorsqu’il est "sous pression" pourrait-on dire, c'est à dire quand les pierres sont toutes comprimées entre elles.


Imaginons deux lutteurs s’affrontant dans un bras-de-fer sportif.



Leurs muscles sont bandés pour maximiser la pression que chacun exerce sur son adversaire. L’équilibre est maintenu tant que les forces antagonistes annulent leurs effets. Les muscles de chaque sportif sont contractés et l’ensemble des deux demi-bras accrochés l'un à l'autre est rigide et extrêmement robuste.


Quand l’un vient à fléchir sous la pression de l’autre, les deux bras pivotent sur les coudes et tout s’affaisse instantanément.


En revanche, si tous les deux relâchent simultanément l’effort en maintenant l’équilibre, ils peuvent alors détacher leurs mains sans que les bras pivotent.

La scène devient molle.


Une autre image intuitive est celle de cet homme qui s’arc-boute et doit peser de tout son corps et de ses bras, en calant bien ses pieds pour ne pas glisser, afin de retenir la pile de planches qui risquent de l’ensevelir.




À image de ce qui vient d’être évoqué, et même si c’est très osé, nous pourrions imaginer un arc comme un être ayant la volonté de ne pas s’effondrer. Pour ne pas s’effondrer il doit maintenir la pression entre ses claveaux et pour cela exercer une poussée sur ses supports.



Rupture de l’arc par implosion

sous l’effet d’une charge trop lourde


Dans la fiche "Traversée de l’espace avec la pierre" j'ai présenté la notion de courbe de pression et j’ai évoqué la règle selon laquelle un arc est stable si la ligne de pression des forces qui s’exercent au sein de l'arc entre les voussoirs, se situe à l’intérieur de l’arc, comme l’illustre le schéma ci-dessous.




Jacques Heyman, architecte-ingénieur, a très bien expliqué dans son livre The Stone Skeeleton (Cambridge Universisty Press), la formation de rotules qui permettent la déformation puis l’effondrement de l’arc lorsque la courbe de pression effleure l’extrados et l’intrados de l’arc, comme le montrent les deux schémas ci-dessous.




Le phénomène physique de la formation de rotules là où la courbe de pression vient effleurer l’extrémité de la maçonnerie peut très facilement être reproduite chez soi. Essayez et vous ressentirez physiquement les effets de ce phénomène.

Prenez deux morceaux de sucre, ou deux parallélépipèdes de mêmes dimensions, entre le pouce et l’index, exercez une pression. La ligne de pression relie les deux points où vos doigts exercent la pression.   Déplacez vos doigts vers l’extrémité de façon à rapprocher la ligne de pression de la limite de l’objet. Brutalement et instantanément les sucres vont s’écarter.

Essayez de procéder très doucement dans l’espoir de pouvoir contrôler le mouvement : vous n’y arriverez pas, la rotation des deux morceaux est instantanée.




L’expérience à Sainte Sophie


Voyons maintenant l’expérimentation de la formation des rotules et de leurs effets sur un arc réel. Les photos qui suivent sont extraites du film documentaire "Monuments Éternels, Sainte-Sophie Dévoilée" diffusé en 2013 sur la chaîne Arte. Le documentaire montre les travaux d’une équipe internationale d'architectes, de sismologues et d'ingénieurs qui ont cherché à percer les secrets de l'extraordinaire résistance du bâtiment aux séismes auxquels la région d'Istambul est régulièrement confrontée.

Ils ont construit une maquette de la basilique Saint Sophie et l’ont soumise à de nombreuses épreuves mécaniques pour mieux comprendre la résistance de la structure de l’édifice et découvrir ses faiblesses cachées afin de pouvoir les corriger.




La suite d’images instantanées suivante est extraites du test de la résistance de l’un des arcs plein-cintre à la surcharge de son extrados jusqu’à la rupture.


    


Formation des premières rotules dans le demi-arc de droite


    
    
    
    

La séquence de ces dix photos consécutives a duré 1/3 de seconde (300 millisecondes).



Rupture de l’arc par affaissement

à la suite d’une déformation géométrique


La stabilité d’un arc dépend avant tout de la capacité de ses supports à résister aux poussées latérales auxquelles ils sont soumis. Lorsque la pression exercée par l’arc est supérieure à la capacité de résistance du support, considéré dans son ensemble, celui-ci va se déplacer légèrement et la géométrie de l’arc se déformera. La pression entre les voussoirs diminue, pouvant entrainer une succession de désordres locaux qui, selon leur ampleur, iront de la fissure jusqu’à un effondrement partiel ou total de l’arc.


Ce phénomène, plus intuitif que le mécanisme de la formation des rotules, a été filmé lors des tests sismiques auxquels a été soumise la maquette de Sainte Sophie. Les oscillations que la maquette subit, provoquent des déformations et des élongations de la maçonnerie qui disjoignent les claveaux et les désolidarisent. La courbe de pression disparaît et les claveaux chutent.


        

L’élongation est visible par l’écartement entre les pierres de la corniche.

Elle permet au bloc de se détacher de l’arc et de chuter.


    

L’élongation se resserre mais le bloc a chuté, affaiblissant à jamais le reste de l’arc. Il n’y a plus de ligne de pression, les blocs de pierre de l’arc ne tiennent que grâce au mortier qui fait office de colle.


Autre illustration du phénomène de dislocation



    


Conclusion


Nous avons cherché à expliquer très intuitivement les deux causes qui peuvent provoquer la ruine d’un arc et des voûtes qu’il soutient :

1) L’implosion immédiate qui survient lorsque la charge qu’il supporte n’est plus tolérée par sa géométrie. La pression interne devient excessive et l’arc se disloque brutalement ;

2) La dislocation progressive qui intervient lorsque les appuis ne résistent pas suffisamment aux poussées latérales et se déplacent, même extrêmement peu. La géométrie se déforme lentement, la pression interne devient insuffisante et l’arc finit par s’affaisser.


On peut observer, dans des édifices anciens, des phénomènes de début de dislocation faisant suite à des déformations géométriques lorsque les supports bougent, même de quelques petits centimètres. La pression au sein de l’arc diminue, il reste très affaibli mais tient encore debout. Il est encore temps de prévenir la catastrophe en étayant l’arc avant sa restauration ou sa reconstruction.



Dans l’illustration ci-dessus, les désordres géométriques visibles sur le demi-arc de droite sont stabilisés par un cintre bien fatigué lui aussi.



Étaiement du chœur de la chapelle Saint Etienne à Istres avant sa restauration. La déformation du support de droite sous la pression de l’arc et de son chargement est nettement visible.


Ce qu'il nous faut retenir : la ruine d’un arc par diminution de la pression qui le sous-tend est progressive et peut être corrigée avant la catastrophe. Par contre la ruine d’un arc par implosion à la suite d’une pression interne trop grande est brutale et instantanée.


Dans la Newsletter n° 5, consacrée à l’état de santé de l’église Notre-Dame de l’Assomption de La Ferté Alais, j'ai illustré une situation qui pourrait, un jour, cumuler les deux causes : implosion suite au poids excessif qu’exerce la charpente sur les voûtes et dislocation suite aux mouvements du sous-sol.



Un dernier mot concernant les restaurations de Notre Dame de Paris qui sont évoquées au début de cette lettre.

La chute de deux voûtes et la fragilité de l’édifice, qui a dû être mis en sécurité grâce à de nombreux étaiements, n’ont rien à voir avec les phénomènes de ruine évoqués ci-dessus.

Les architectes médiévaux n’ont jamais conçu l’architecture de leurs cathédrales pour que les voûtes résistent à la chute d’objets lourds ni que l’édifice reste suffisamment stable sans le poids élevé que la charpente exerce au sommet des murs.

C’est au contraire grâce à la robustesse de la conception de la cathédrale des XIIème et XIIIème siècles que Notre-Dame a pu résister à la catastrophe de 2019.




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